\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)

Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(n-2\right)^2+12>0\) ; \(\forall n\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi n

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=n-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1^2+2018}-x_2=\sqrt{x_2^2+2018}+x_1\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1^2+x_2^2+2018+2x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)

\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)

\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2018\right)=x_1^2\left(x_2^2+2018\right)\)

\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\) (do \(x_1;x_2\) trái dấu)

\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)

Thử lại với \(n=2\) thấy đúng. Vậy...

Hồng Phúc CTV, Nguyễn Việt Lâm

Để (1) có 2 nghiệm dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m+3\right)^2-m-1\ge0\\x_1+x_2=2\left(m+3\right)>0\\x_1x_2=m+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

\(P=\left|\dfrac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1x_2}}\right|>0\Rightarrow P^2=\dfrac{\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^2}{x_1x_2}\)

\(P^2=\dfrac{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}{x_1x_2}=\dfrac{2\left(m+3\right)-2\sqrt{m+1}}{m+1}=\dfrac{4}{m+1}-\dfrac{2}{\sqrt{m+1}}+2\)

\(P^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{m+1}}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\ge\dfrac{7}{4}\Rightarrow P\ge\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{m+1}=4\Rightarrow m=15\)

Vì \(x_1,x_2,x_3,....,x_n>0\)nên ta áp dụng bất đẳng thức Cosi, được : 

\(1+x_1\ge2\sqrt{x_1}\)(1)

\(1+x_2\ge2\sqrt{x_2}\)(2)

.............................

\(1+x_n\ge2\sqrt{x_n}\)(n)

Nhân n bất đẳng thức trên theo vế, được  :

\(\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)...\left(1+x_n\right)\ge2^n.\sqrt{x_1.x_2...x_n}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=...=x_n=1\)(thoả mãn điều kiện)

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình : \(x_1=x_2=...=x_n=1\)

Bạn viết sai phương trình

Thay m=-1 vào phương trình ta đc

\(x^2+4x-7\)=0

\(\Delta'=2^2-\left(-7\right)=11\)

\(x_1=-2+\sqrt{11};x_2=-2-\sqrt{11}\)

b)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+1-2m+5=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\forall m\in R\)

Vậy phương luôn luôn có 2 ngiệm pb

Theo viet ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1.x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_1-x_2\right)=m+x^2_1\Leftrightarrow m-x_1x_2=0\Leftrightarrow m-2m-5=0\Leftrightarrow m=-5\)